KURZUS: Statisztika I.

MODUL: Melléklet

Képletek

|  | 1. Alapfogalmak, viszonyszámok
| 1.1. Adatközlési abszolút és relatív hiba
Abszolút hiba: | a ∧ ≤ 10 k 2 , ahol a ∧ : a becsült abszolút hiba k: pedig az utolsó szignifikáns számjegy helyi értéke
A relatív hiba: | α ∧ = a ∧ A'
| 1.2. Viszonyszámok
Megoszlási viszonyszám | V m = x i ∑ x i w j = n j ∑ n j
Bázis-viszonyszám | l i ( V b )= y i y 0
Lánc-viszonyszám | l b ( V l )= y i y i−1
A fejlődés átlagos üteme | V − l = V l 1 * V l 2 *...* V ln⁡ n−1 = = ∏ V ln⁡ n−1 = y n y 0 n−1
| Összefüggések l i = b i b i−1 ; b k = l 2 * l 3 *⋯* l k = ∏ i=2 k l i , ahol k az idősor feladat szerint megjelölt tagja
| 2. Empirikus eloszlások elemzése
| A mennyiségi sorok jellemző értékeinek kiszámítása
| 2.1. Középértékek és kvantilisek
| Jelölések: xi az i-edik adat értéke vagy az i-edik osztály közepe, n az adatok száma, r az osztályok száma, fi az i-edik osztályba tartozó adatok száma.
| Egyedi adatokból | Gyakorisági adatokból
Számtani közép | x ¯ = ∑ i=1 n x i n | x ¯ = ∑ i=1 r f i * x i ∑ i=1 r f i = ∑ i=1 r s i ∑ i=1 r f i = ∑ i=1 n g i * x i
Harmonikus átlag | x ¯ h = n ∑ i=1 n 1 x i | x ¯ h = ∑ i=1 r f i ∑ i=1 r f i x i = 1 ∑ i=1 r g i x i
Geometriai átlag | x ¯ g = ∏ i=1 n x i n | x ¯ g = ∏ i=1 r x i f i n
Négyzetes átlag | x ¯ q = ∑ i=1 n x i 2 n | x ¯ q = ∑ i=1 r f i x i 2 n
Módusz becslése | M o= x m o, a + d a d a + d f ⋅ h m o d a = f m o − f m o−1 , d f = f m o − f m o+1 M o = m 0 + f m o - f m o-1 ( f m o - f m o-1 ) +( f m o - f m o+1 ) *h
Medián becslése: | M e= x m e, a + n 2 −f ' m e−1 f m e ⋅ h m e
Kvantilisek becslése | K V = x k v, a + j k *n− f ′ k v−1 f k v * h k v
| 2.2. Szóródási mutatók
Terjedelem: | R(T)= x max⁡ − x min⁡
Interkvartilis terjedelem: | I Q T= Q 3 − Q 1
Szórás: | Egyedi adatokból: σ= ∑ i=1 n ( x i − x ¯ ) 2 n vagy σ= ∑ i=1 n x i 2 −n x ¯ 2 n Gyakorisági adatokból: σ= ∑ i=1 r f i ( x i − x ¯ ) 2 n vagy σ= ∑ i=1 r f i x i 2 −n x ¯ 2 n
Relatív szórás: | V(C V)= σ x ¯
Teljes szórásnégyzet összetevői: | σ 2 = σ B 2 + σ K 2 , S S T=S S B+S S K , S S K= ∑ n j ( x ¯ j − x ¯ ) 2 , S S B= ∑ n j σ j 2 = ∑ j ∑ i ( x i j − x ¯ j ) 2
Belső szórásnégyzet: | σ B 2 = ∑ n j σ j 2 n , ahol: j: a csoportosító ismérv változatainak száma
Külső szórásnégyzet: | σ K 2 = ∑ n j d j 2 n , ahol d j 2 = ( x ¯ j − x ¯ ) 2
Átlagos eltérés: | δ= ∑ i=1 r f i | x i − x ¯ | ∑ i=1 r f i vagy δ= ∑ i=1 r g i | x i − x ¯ |
Átlagos különbség: | G= ∑ i=1 n ∑ j=1 n | x i − x j | n( n−1 ) G= ∑ i=1 r ∑ j=1 r f i f j | x i − x j | n( n−1 )
Koncentráció (Lorenz-féle területarány): | K= T k T b = G 2 x −
| 2.3. Eloszlások, gyakorisági sorok jellemzői
Aszimmetria mértéke: | A= x ¯ −M o σ P= 3( x ¯ a −M e ) σ
Ferdeségi mutató: | F= ( Q 3 −M e )−( M e− Q 1 ) ( Q 3 −M e )+( M e− Q 1 ) ,
Csúcsosság: | K= Q 3 − Q 1 2( D 9 − D 1 )
| 3. Összefüggés-vizsgálat egyszerűbb eszközei
| 3.1. Asszociáció
Yule-féle együttható: | A(Y)= f 11 f 22 − f 21 f 12 f 11 f 22 + f 21 f 12
Csuprov-féle asszociációs együttható: | T= χ 2 n ( s−1 )( t−1 ) , ahol χ 2 = n ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j 2 f i. f .j −1) , ahol n az adatok száma, s a sorok száma, t az oszlopok száma, vagy χ 2 = ∑ i ∑ j ( f i j − f i j * ) 2 f i j * , ahol f i j * = f i. ⋅ f .j n i=1, 2⋯s , j=1, 2⋯t
Cramer-féle együttható: | C= χ 2 n( s−1 ) , ahol: s≤t
| 3.2. Korrelációs együtthatók:
Spearman-féle rangkorrelációs együttható: | r r =1− 6 ∑ i=1 n D i 2 n*( n 2 −1) , ahol D i = x i − y i
Előjel-korrelációs együttható: | r e = p−q p+q
| 3.3. Vegyes kapcsolat
| Szórásnégyzet-hányados: H 2 = σ K 2 σ 2 = S S K S S T vagy H= σ K σ T = 1− σ B 2 σ T 2
| 4. Indexszámítás
| 4.1.Standardizáláson alapuló indexszámítás
| 4.1.1.Különbségek
Főátlagok különbsége: | K= V ¯ 1 − V ¯ 0 = ∑ B 1 V 1 ∑ B 1 − ∑ B 0 V 0 ∑ B 0
Részátlagok különbsége: | K'= V ¯ 1 − V ¯ s t: B 1 vagy K'= V ¯ s t: B 0 − V ¯ 0 , ahol V ¯ s t: B 1 = V ¯ s t: v 0 = ∑ B 1 v 0 ∑ B 1 V ¯ s t: B 0 = V ¯ s t: v 1 = ∑ B 0 v 1 ∑ B 0
Összetételből eredő különbség: | K"= V ¯ s t: v 0 − V ¯ 0 vagy K"= V ¯ 1 − V ¯ s t: v 1
Összefüggés: | K=K'+K"
| 4.1.2. Indexek
Főátlagindex: | I= V ¯ 1 V ¯ 0
Részátlagindex: | I ′ = V ¯ 1 V ¯ s t: B 1 vagy K= V ¯ 1 − V ¯ s t: B 1 I ′ = ∑ B 1 V 1 ∑ B 1 ∑ B 1 V 0 ∑ B 1 illetve I ′ = ∑ B 0 V 1 ∑ B 0 ∑ B 0 V 0 ∑ B 0
Összetételhatás indexe: | I ″ = V ¯ s t: v 0 V ¯ 0 vagy I ″ = V ¯ 1 V ¯ s t: v 1 I"= ∑ B 1 V 0 ∑ B 1 ∑ B 0 V 0 ∑ B 0 illetve I"= ∑ B 1 V 1 ∑ B 1 ∑ B 0 V 1 ∑ B 0
| Összefüggés: I=I'⋅I"
| Megjegyzés: A 0 és 1 index-megjelölés időbeli és térbeli összehasonlításra egyaránt utalhat.
| 4.2. Érték-, ár- és volumenindexek
| 4.2.1.Egyedi értékindex
| i v = v i 1 v i 0 = q i 1 p i 1 q i 0 p i 0
| 4.2.2.Egyedi volumenindex
| i q = q i 1 q i 0
| 4.2.3.Egyedi árindex
| i p = p i 1 p i 0
| 4.2.4. Különbségek
| K v = ∑ q 1 p 1 − ∑ q 0 p 0
| K p 0 = ∑ q 0 p 1 − ∑ q 0 p 0
| K p 1 = ∑ q 1 p 1 − ∑ q 1 p 0
| K q 1 = ∑ q 1 p 1 − ∑ q 0 p 1
| K q 0 = ∑ q 1 p 0 − ∑ q 0 p 0
| K v = K p 1 + K q 0 = K p 0 + K q 1
| 4.2.5.Értékindex
| I v = ∑ q 1 p 1 ∑ q 0 p 0 = ∑ q 0 p 0 * i v ∑ q 0 p 0 = ∑ q 1 p 1 ∑ q 1 p 1 i v
| 4.2.6.Volumenindex
Laspeyres-féle (bázis súlyozás): | I q L = I q 0 = ∑ q 1 p 0 ∑ q 0 p 0 = ∑ q 0 p 0 * i q ∑ q 0 p 0 = ∑ q 1 p 0 ∑ q 1 p 0 i q
Paasche-féle (tárgy időszaki súlyozás): | I q P = I q 1 = ∑ q 1 p 1 ∑ q 0 p 1 = ∑ q 0 p 1 * i q ∑ q 0 p 1 = ∑ q 1 p 1 ∑ q 1 p 1 i q
Fisher-féle: | I q F = I q L ⋅ I q P
Edgeworth-Marshall-féle: | I q E M = ∑ q 1 ( p 0 + p 1 ) ∑ q 0 ( p 0 + p 1 )
| 4.2.7. Árindex
Laspeyres-féle (bázis súlyozás): | I p L = I p 0 = ∑ q 0 p 1 ∑ q 0 p 0 = ∑ q 0 p 0 * i p ∑ q 0 p 0 = ∑ q 0 p 1 ∑ q 0 p 1 i p
Paasche-féle (tárgy időszaki súlyozás): | I p P = I p 1 = ∑ q 1 p 1 ∑ q 1 p 0 = ∑ q 1 p 0 * i p ∑ q 1 p 0 = ∑ q 1 p 1 ∑ q 1 p 1 i p
Fisher-féle: | I p F = I p L ⋅ I p P
| 4.2.8. Indexek közötti összefüggés
| I v = I q P ⋅ I p L = I q L ⋅ I p P = I q F ⋅ I p F
| 4.2.9. Területi indexek
| I q( A/B ) A = ∑ q A p A ∑ q B p A ; I q( A/B ) B = ∑ q A p B ∑ q B p B ; I q( A/B ) F = I q( A/B ) A ⋅ I q( A/B ) B
| I p( A/B ) A = ∑ q A p A ∑ q A p B ; I p( A/B ) B = ∑ q B p A ∑ q B p B ; I p F = I p( A/B ) A ⋅ I p( A/B ) B