KURZUS: Statisztika I.

MODUL: V. modul: Standardizálás

12. lecke: Főátlag-, részátlag-, összetételindex és különbségeik

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| adott adatatok alapján felsorolásból ki tudja választani, mit fejez ki a főátlag-index, a részátlag-index és az összetétel-index; meg tudja határozni a főátlagokat; adott adatatok alapján ki tudja számolni a főátlag-indexet, a részátlag indexet és az összetételindexet; a kiszámított statisztikai mutatókkal ki tudja egészíteni a mutatók értelmezésére vonatkozó mondatokat.
| Tananyag
| Ha valamilyen ismérv szempontjából heterogén sokaságból átlagot számolunk, elemzésünk csak akkor lesz teljes, ha a sokaság összetételét nem hagyjuk figyelmen kívül. A sokaságok főátlagának térbeli vagy időbeli összehasonlításakor (azaz a sokaság átlagának időbeli változását, vagy két sokaság átlagát) figyelembe kell venni a részsokaságok átlagának és összetételének a változását.
| 12.1.Főátlag-index
| A főátlag-index a főátlag változását fejezi ki, azaz megmutatja, hogy hogyan változik a heterogén sokaság főátlaga a részátlagok színvonalának és arányának együttes változása esetén.
| I= V 1 ¯ V 0 ¯ , általában százalékban fejezzük ki.
| V i − = Σ A i j Σ B i j = Σ B i j * V i j Σ B i j = Σ f i j * x i j Σ f i j , egyszerűbben kifejezve: V i − = Σ A i Σ B i = Σ B i * V i Σ B i = Σ f i * x i Σ f i
| Ez a főátlagok relatív változását mutatja meg. A változást abszolút mértékben is kifejezhetjük különbségfelbontással. Ez a mennyiségi változást mutatja meg.
| K= V 1 ¯ − V 0 ¯ vagy K= Σ B 1 * V 1 Σ B 1 − Σ B 0 * V 0 Σ B 0
| A főátlag különbség (vagy differenciál) megmutatja, hogy mennyivel változott a főátlag a részátlagok színvonalának és arányának együttes változása esetén.

|  | Bemutató feladat
| A szellemi foglalkozású munkavállalók létszám és béradatai egy vállalkozásnál
Nem | 2008 | 2009
Létszám (fő) | Átlagbér (Ft/fő/hó) | Létszám (fő) | Átlagbér (Ft/fő/hó)
Férfiak | 50 | 200.000 | 60 | 220.000
Nők | 80 | 190.000 | 70 | 205.000
Összesen. | 130 | - | 130 | -
1. | Számítsa ki, hogyan változott a vállalati átlagbér.
2. | Mutassa ki a vállalati átlagbér változását befolyásoló tényezők hatását.
3. | Írjon szöveges elemzést.
| Az előző lecke során már kiszámítottuk külön a nők és a férfiak átlagbérének a változását.
| Férfiak átlagbérének változása:
| i 1 = v 11 v 10 = 220000 200000 =1,1=110% k 1 = v 11 − v 10 =220000−200000=20000
| A nők átlagkeresetének változása:
| i 2 = v 21 v 20 = 205000 190000 =1,0789=107,89% k 2 = v 21 − v 20 =205000−190000=15000
| Most megvizsgáljuk az átlagbér alakulását az egész vállalkozásra.
| 2008. év: V ¯ 0 = Σ B 0 * V 0 Σ B 0 = 50*200000+80*190000 50+80 =193846 Ft/fő/hó
| 2009. év V ¯ 1 = Σ B 1 * V 1 Σ B 1 = 60*220000+70*205000 60+70 =211923 Ft/fő/hó
| A vállalati átlagbér változása:
| I= V 1 ¯ V 0 ¯ = 211923 193846 =1,0933=109,33% K= V ¯ 1 − V ¯ 0 =211923−193846=18077 F t/F ő/h ó

|  | 12.2. Részátlag-index
| A részátlagok színvonalváltozásának hatását fejezi ki a főátlag változásában úgy, hogy állandónak tekinti az összetételt. Ez kétféleképpen történhet:
| Állandónak tekintjük a bázisidőszak adatait (amihez hasonlítunk). Ilyenkor standard átlagot számolunk: V ¯ s: B 0 = Σ B 0 * v 1 Σ B 0 Ebben az esetben a részátlag-index: I ' = V s B 0 ¯ V 0 ¯ Állandónak tekintjük a tárgyidőszak adatait (amit hasonlítunk). V ¯ s: B 1 = Σ B 1 * V 0 Σ B 1 Ebben az esetben a részátlag-index: I ' = V 1 ¯ V s ¯
| A részátlag-indexet is százalékos formában adjuk meg. Ebben az esetben is kiszámoljuk az abszolút változást is.
| K ' = V 1 ¯ − V ¯ s: B 1 vagy K ' = V ¯ s: B 0 − V ¯ 0
| A részátlag-index különbség megmutatja, hogy a részviszonyszámok közötti eltérések önmagukban mekkora eltérést indokolnak a két főátlag között.

|  | Bemutató feladat
| Folytassuk az előző feladatot!
| A standard főátlag kiszámítása: állandó a bázis év létszáma
| V ¯ s = Σ B 0 * V 1 Σ B 0 = 50*220000+80*205000 50+80 =210769 Ft/fő/hó
| A részviszonyszámok változásának hatása:
| I'= V s ¯ V 0 ¯ = 210769 193846 =1,0873=108,73% K'= V ¯ s− V ¯ 0 =210769−193846=16923 F t/f ő/h ó

|  | 12.3. Összetételindex
| Az összetételindex a fősokaság összetételében bekövetkezett változásoknak a főátlagra gyakorolt hatását fejezi ki. Azaz az összetételindex megmutatja, hogy mennyire változott a főátlag csak az összetétel-változás hatására. Hasonlóan a részátlag-indexhez, ebben az esetben is kétféle számítás lehetséges.
| Tárgyidőszaki súlyozás: V ¯ s: V 1 = Σ B 0 * V 1 Σ B 0 Az összetételindex pedig: I '' = V 1 ¯ V s: V 1 ¯ Bázis időszaki súlyozással: V ¯ s: v i = Σ B 1 * V 0 Σ B 1 Az összetételindex pedig: I '' = V ¯ s: v 0 V 0 ¯
| Hasonlóan a részátlag indexhez az összetételhatást is ki lehet fejezni a különbségek felbontásával, azaz kiszámolhatjuk, hogy csak az összetétel-változás hatására mennyivel változott a főátlag.
| K '' = V s ¯ − V ¯ 0 vagy K"= V ¯ 1 − V ¯ s

|  | Bemutató feladat
| Folytassuk az előző feladatot!
| Az összetétel változásának hatása
| I''= V 1 ¯ V s ¯ = 211923 210769 =1,0055=100,55% K''= V ¯ 1 − V ¯ s =211923−210769=1154 F T/f ő/h ó

|  | 12.4. Az indexek és a különbségek közötti összefüggések
| Mivel a részátlag- és az összetétel-index a főátlagban bekövetkező változásokat fejezi ki külön-külön, ezért főátlag-index (amely az együttes változást fejezi ki), ezek szorzata.
| I=I"*I”= V 1 ¯ V s ¯ * V ¯ s V 0 ¯ = V s ¯ V 0 ¯ * V 1 ¯ V s ¯
| Hasonló összefüggés van a különbségek esetében is: K=K'+K''
| Természetesen ezek az összefüggések csak akkor igazak, ha "keresztbe standardizálunk", azaz ha a részátlag-indexnél tárgyidőszaki súlyozást használunk (B1), akkor az összetétel-index esetében bázisidőszaki (V0) súlyozást kell használni, illetve fordítva.

|  | Bemutató feladat
| Folytassuk az előző feladatot!
| Összefüggések
| I=I'*I"=1,0873*1,0055=1,0933=109,33% K=K'+K"=16923+1154=18077 Ft/fő/hó

|  | 12.5. Az indexek és a különbségek szöveges értelmezése
| A kapott számszerű eredmények értelmezésénél fontos a megfogalmazás. Időbeli összehasonlítás esetén növekedésről vagy csökkenésről beszélünk. Térbeli összehasonlításkor az eltérést a kisebb, kevesebb, nagyobb, több jelzőkkel értelmezzük.
| Az indexeket százalékban fejezzük ki. A 100% feletti rész jelenti a növekedés mértékét, a 100% alatti rész pedig a csökkenést fejezi ki úgy, hogy a kapott értéket levonjuk 100-ból.

|  | Bemutató feladat
| Szöveges értékelés
| A vizsgált vállalkozásnál a vállalati átlagbér a nők és férfiak átlagkeresetének és létszámának változása miatt 2008-ról 2009-re 9,33%-kal emelkedett, ami 18077 Ft-os átlagbér-növekedést jelent. A férfiak és nők átlagbérének növekedése 8,73%-os vállalati átlagbér növekedést eredményezett, azaz 16923 Ft-tal nőtt átlagosan a dolgozók bére. Csak a létszám összetételében bekövetkezett változás miatt a vállalati átlagbérek 0,55%-kal emelkedtek, ami 1154 Ft-nak felel meg.

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Egy vállalatnál egy terméket kétféle technológiával gyártanak. A két technológia termelési és önköltségi adatai a következők:
Technológia | 2008 | 2009
Termelés (edb) | Önköltség (Ft/db) | Termelés (edb) | Önköltség (Ft/db)
I. | 200 | 500 | 300 | 530
II. | 200 | 700 | 200 | 735
Összesen. | 400 | - | 500 | -
| Válassza ki a helyes állításokat!
| 1/a.
| A részátlag-index a termelés költség változását fejezi ki.
| A részátlag-index az önköltség változásának hatását fejezi ki.
| A részátlag-index megmutatja, hogy mennyivel változott az önköltség.
| 1/b
| A főátlag-index a vállalati önköltség változását fejezi ki.
| A főátlag-index az önköltségek változását fejezi ki.
| A főátlag-index megmutatja, hogy mennyivel változott a termelési költség.
| 1/c
| Az összetétel-index a termelés mennyiségi változását fejezi ki.
| Az összetétel-index kifejezi a termelési mennyiség változásának hatását a vállalati önköltség változásában.
| Az összetétel-index megmutatja, hogy mennyivel változott a termelt mennyiség.
| Írja be a mezőkbe a megfelelő értékeket! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze el!
| 2/a Főátlag-index: % Részátlag-index: % Összetétel-index: %
| 2/b A főátlagok különbsége: Ft A részátlag különbség: Ft
| 2/c A vállalati átlagbérek a vizsgált időszakban %-kal növekedtek. 2009-ben az átlagos önköltség Ft/db. A standardizált önköltség Ft/db. Az egyes telephelyek az önköltségének változása miatt a vállalati önköltség %-kal emelkedett. A vállalati önköltség 2009-ben Ft-tal volt több mint 2008-ban. A vállalati önköltség a termelt mennyiség változása miatt %-kal csökkent.