KURZUS: Statisztika I.

MODUL: III. modul: Mennyiségi sorok további elemzési eszközei

6. lecke: Szóródási mutatók

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| felsorolásból ki tudja választani a szóródásra igaz állítást; felsorolásból ki tudja választani a szórásra igaz állítást; felsorolásból ki tudja választani a szórás definícióját; felsorolásból ki tudja választani a belső szórásra igaz állítást; felsorolásból ki tudja választani a Gini-féle mutatóra igaz állítást; önállóan meg tudja határozni az adatsor terjedelmét, szórását, relatív szórását, az abszolút és átlagos eltérést; ki tudja számolni és értelmezni tudja a belső szórást, külső szórást és a teljes szórást; meg tudja határozni az átlagos különbség mutatószámát, és értelmezni annak jelentését.
| Tananyag
| A középértékek csak egyetlen tulajdonságát rögzítik az eloszlásnak, ezért a statisztikai sokaság jellemzésére általában nem elegendőek. Egy sokaság eloszlása nagyon sokféle lehet, így az eloszlás formája is különböző lehet.
| Az ismérvértékek szóródásának mérésére és mérőszámok képzésére különböző lehetőségek vannak. Szóródáson azonos fajta számszerű adatok (általában egy mennyiségi ismérv értékének) különbözőségét értjük. A szóródás mérése az ismérvértékek valamely középértéktől vett eltérései vagy egymás közötti különbségei alapján történik. Ezen eltérések, különbségek alapján számított mérőszámok a szóródás abszolút mutatói, amelyek mértékegysége megegyezik a megfigyelt ismérv mértékegységével. A szóródás relatív mutatói elvonatkoztatnak az ismérvértékek mértékegységétől, nagyságrendjétől, a szóródás térbeli vagy időbeli összehasonlítására szolgálnak.
| A szóródás legfontosabb mutatószámai:
| terjedelem (R), átlagos eltérés ( δ), szórás ( σ, s), relatív szórás (V, CV) átlagos különbség (G).
| Az egyes mutatószámokra az elmélet végén talál példát!
| 6.1. A szóródás terjedelme (R)
| Azt mutatja meg, hogy a sokaság elemei milyen értékintervallumban helyezkednek el. A szóródás terjedelme alatt az előforduló legkisebb és legnagyobb érték különbségét értjük:
| R=xmax - xmin
| A szóródás terjedelme egy nagyon egyszerű és csak közelítő mérőszáma a szóródásnak. Az eloszlásnak csak a legkisebb és a legnagyobb értékét veszi figyelembe, és a két szélső érték közötti többi értéket nem. Arról, hogy a többi érték hol helyezkedik el, nem mond semmit.
| 6.2. Átlagos eltérés ( δ)
| Az átlagos eltérés az ismérvértékek számtani átlagtól vett eltérésein alapul, azaz az egyes értékek számtani átlagtól vett eltérései abszolút értékének számtani átlaga:
| δ= ∑ | x i − x ¯ | n δ= ∑ f i | x i − x ¯ | ∑ f i
| Mivel az átlag nagyságát nem a súlyok abszolút nagysága, hanem a súlyok aránya befolyásolja ezért a relatív gyakoriságból is kiszámítható:
| δ= ∑ g i | x i − x ¯ |

|  | Bemutató feladat
| Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva.
Élettartam (óra) | fi | Oszt. Közép | | x i - x ¯ | | gi | g i ⋅| x i - x ¯ |
600-700 | 5 | 650 | 210 | 0,1 | 21,0
700-800 | 11 | 750 | 110 | 0,22 | 24,2
800-900 | 16 | 850 | 10 | 0,32 | 3,2
900-1000 | 10 | 950 | 90 | 0,2 | 18,0
1000-1100 | 8 | 1050 | 190 | 0,16 | 30,4
Összesen | 50 |  |  |  | 96,8
| δ= 96,8
| Ugyanezekkel az adatokkal dolgozva, csak a gyakoriságokat változtatjuk meg:
Élettartam (óra) | fi | Oszt. Közép | | x i - x ¯ | | gi | g i ⋅| x i - x ¯ |
600-700 | 11 | 650 | 210 | 0,22 | 46,2
700-800 | 5 | 750 | 110 | 0,1 | 11,0
800-900 | 10 | 850 | 10 | 0,2 | 2,0
9001-1000 | 16 | 950 | 90 | 0,32 | 28,8
1000-1100 | 8 | 1050 | 190 | 0,16 | 30,4
Összesen | 50 |  |  |  | 118,4
| δ= 118,4

|  | 6.3. A szórás
| A legismertebb és a leggyakrabban használt mutató a szórás. A szórás az egyes értékek számtani átlagtól való eltéréseinek négyzetes átlaga, azaz megmutatja, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el az átlagtól.
| Tapasztalati szórás: az egész sokaságra vonatkozik.
| σ= Σ ( x i − x − ) 2 n σ= Σ f i ( x i − x − ) 2 Σ f i σ= Σ g i ( x i − x − ) 2
| elméleti szórás: a mintából számoljuk ki.
| s= Σ ( x i − x − ) 2 n−1 s= Σ f i ( x i − x − ) 2 Σ f i −1
| Az eredeti táblázat (50 villanyégő) adataiból számítsuk ki a szórást
| σ= Σ f i ( x i − x − ) 2 Σ f i = 5* (650−860) 2 +11* (750−860) 2 +...+8* (1050−860) 2 50 =120,42
| Tulajdonságai:
| Ha az ismérvértékhez hozzáadunk egy állandót (A), a szórás értéke nem változik, mivel ilyenkor a számtani átlag is pont ezzel az állandóval lesz nagyobb. Ha az ismérvértéket megszorozzuk egy állandóval (B), akkor a szórás | B | -szeresére változik, mivel ebben az esetben a számtani átlag értéke "B"-szer nagyobb lesz.
| A szórás mindig nagyobb értékű, mint az átlagos eltérés!
| 6.3.1. Variancia
| A variancia, vagy szórásnégyzet önálló mutatóként is használatos. Nagy jelentősége például a varianciaanalízisben van, amely több középérték összehasonlítására szolgál. Ezzel az anyaggal majd a Statisztika II-ben találkozunk. Többféle jelölést találunk a szakirodalomban: s2, SS, MQ
| 6.3.2. A szórásnégyzet és a szórás felbontása
| Ha a sokaság részekre, azaz részsokaságokra bontható, akkor a szórásnégyzetet is fel lehet bontani két részre:
| Belső szórásnégyzetre: σ B 2 Külső szórásnégyzetre σ K 2
| A belső- és külső szórásnégyzet összege a teljes szórásnégyzet: σ T 2 = σ B 2 + σ K 2
| A belső szórásnégyzet az egyes részsokaságok (csoporton belüli elemek és a csoport főátlaga között értelmezett különbségekből meghatározott) szórásnégyzeteinek az átlaga.
| σ B 2 = Σ n j * σ j 2 n ,
| ahol j: a csoportosító ismérv változatainak a száma σ j 2 : a j-edik részsokaság szórásnégyzete nj: a j-edik részsokaság elemszáma n: a sokaság elemszáma
| A külső szórásnégyzet az egyes részsokaságok átlagai (részátlag) és a teljes sokasági átlag (főátlag) eltérés négyzetösszegének az átlaga (a részsokaságok nagyságával súlyozva).
| σ K 2 = Σ n j * ( x ¯ j − x ¯ ) 2 n ,
| ahol x ¯ j : a részsokaságok átlaga x ¯ : a teljes sokaság átlaga (főátlag)
| A teljes szórás ( σ T ) azt fejezi ki, hogy a vizsgált sokaságban az egyes értékek átlagosan mennyivel térnek el a főátlagtól.
| A belső szórás ( σ B ) azt fejezi ki, hogy a részsokaságok egyes értékei átlagosan mennyivel térnek el a saját részátlaguktól.
| A külső szórás ( σ K ) azt fejezi ki, hogy a vizsgált sokaságban az egyes részsokaságok átlagai átlagosan mennyivel térnek el a sokasági főátlagtól.

|  | Bemutató feladat
| A hallgatók szakok szerinti csoportosításban az alábbi eredményt érték el egy vizsgán. A maximálisan elérhető pontszám 100 pont volt.
Szak | Hallgatók száma (fő) | Az elért eredményük átlagpontszáma | Az eredmények szórás
Közgazdász | 20 | 63 | 5,6
Jogász | 30 | 60 | 5,9
Mérnök | 25 | 50 | 6,4
| Számítsa ki az adatok alapján a belső-, a külső és a teljes szórást, majd értelmezze azokat!
| A vizsga átlagpontszáma, azaz a főátlag:
| x − = ∑ f i x i ∑ f i = 20*63+30*60+25*50 20+30+25 =57,47
| A belső szórásnégyzet:
| σ B 2 = ∑ n j * σ j 2 n = 20* 5,6 2 +30* 5,9 2 +25* 6,4 2 20+30+25 =35,94
| A belső szórás:
| σ B = σ B 2 = 35,94 =5,99 , Az egyes szakokon belül a hallgatók eredménye átlagosan 5,99 ponttal tér el az adott szakon elért átlagos pontszámtól.
| A külső szórásnégyzet:
| σ K 2 = Σ n j * ( x j ¯ − x ¯ ) 2 n = 20* (63−57,47) 2 +30* (60−57,47) 2 +25* (50−57,47) 2 20+30+25 =29,32
| A külső szórás:
| σ K = σ K 2 = 29,32 =5,41 , az egyes szakok átlagos vizsgaeredménye 5,41 ponttal tér el az összes hallgató által élért átlageredménytől.
| A teljes szórásnégyzet:
| σ T 2 = σ B 2 + σ K 2 =35,94+29,32=65,26
| A teljes szórás:
| σ= σ 2 = 65,26 =8,08 , A vizsgán megjelent hallgatók eredménye átlagosan 8,08 ponttal tér el az összes hallgató által élért átlageredménytől.

|  | 6.4. Relatív szórás (V, CV)
| Sok esetben a szóródás vizsgálatára a szórás, mint átlagos szóródási paraméter nem elegendő. Továbbá bizonyos esetekben szükség lehet arra, hogy az ismérvértékek nagyságrendjétől illetve mértékegységétől elvonatkoztatott "tiszta szám" jellegű mérőszámmal mérjünk, és összehasonlíthatóvá tegyük a szórásokat. E célból bármelyik eddig bemutatott mérőszámot viszonyíthatjuk az átlaghoz. A legismertebb ilyen szóródási mérőszám a relatív szórás vagy variációs koefficiens, amely kifejezi, hogy a szórás az átlag hányad része. Általában százalékban kifejezve adjuk meg.
| V= σ x −
| Kifejezi, hogy a sokaság egyes egyedeinek értéke átlagosan hány százalékkal tér el az átlagtól.
| A relatív szórás százalékosan kifejezve a gazdasági gyakorlatban a változékonyságot az alábbiak szerint minősíthetjük:
| 0-10%: állandóságot (homogenitást) 10-20%: közepes változékonyságot, 20-30%: erős változékonyságot 30% felett szélsőséges ingadozást fejez ki.
| 6.5. Átlagos különbség (G)
| Az átlagos eltérés ( δ) és a szórás ( σ) a számtani átlag alapján méri az ismérvértékek különbözőségét. A szóródás az ismérvértékek egymás közötti különbségei alapján is vizsgálható, illetve mérhető. E mutató bevezetését Corrado Gini, olasz statisztikus javasolta, ezért Gini-féle mérőszámnak is nevezik.
| Az átlagos különbség (G) az ismérvértékek egymástól számított különbségei abszolút értékének számtani átlaga.
| G= ∑∑| x i - x j | n(n-1) G= ∑∑ f i • f j | x i - x j | n(n-1)
| Az átlagos különbség azt fejezi ki, hogy az egyes ismérvértékek átlagosan mennyivel térnek el egymástól.
| Számításához három munkatábla szükséges: | x i − x j |
| xj1 | xj2 |  | xjn
xi1 |  |  |  |
xi2 |  |  |  |
xin |  |  |  |
| fi*fj
| fj1 | fj2 |  | fjn
fi1 |  |  |  |
fi2 |  |  |  |
xin |  |  |  |
| fi*fj* | x i − x j |
|  |  |  | Összesen
| A két tábla megfelelő celláinak szorzata. |

|  | Bemutató feladat
| Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva.
Élettartam (óra) | fi | Oszt. Közép | | x i − x j | | fi* | x i − x j |
601-700 | 5 | 650 | 210 | 1050
701-800 | 11 | 750 | 110 | 1210
801-900 | 16 | 850 | 10 | 160
901-1000 | 10 | 950 | 90 | 900
1001-1100 | 8 | 1050 | 190 | 1520
Összesen | 50 |  |  | 4840
| R (Terjedelem): 1100-600= 500 óra Átlag= 860 óra: egy villanyégő átlagos élettartama. Átl. Eltérés: 96,8 óra: a villanyégők élettartama átlagosan 96,8 órával tér el a sokaság átlagától Szórás 120,42 óra: a villanyégők élettartama átlagosan 120,42 órával tér el a sokaság átlagától CV= 14%: villanyégők élettartama átlagosan 14%-kal tér el a sokaság átlagától
| | x i − x j |
| Mivel a főátlóra szimmetrikus mátrixot kapunk, ezért a táblázatnak csak egy részét töltjük ki.
| 650 | 750 | 850 | 950 | 1050
650 | 0 | 100 | 200 | 300 | 400
750 |  | 0 | 100 | 200 | 300
850 |  |  | 0 | 100 | 200
950 |  |  |  | 0 | 100
1050 |  |  |  |  | 0
| fi*fj
| 5 | 11 | 16 | 10 | 8
5 | 25 | 55 | 80 | 50 | 40
11 |  | 121 | 176 | 110 | 88
16 |  |  | 256 | 160 | 128
10 |  |  |  | 100 | 80
8 |  |  |  |  | 64
| fi*fj* | x i − x j |
| 0 | 5500 | 16000 | 15000 | 16000 | 52500
|  | 0 | 17600 | 22000 | 26400 | 66000
|  |  | 0 | 16000 | 25600 | 41600
|  |  |  | 0 | 8000 | 8000
|  |  |  |  | 0 | 0
|  |  |  |  |  | 168100
| Mivel a táblázatot nem teljesen töltöttük ki, ezért a kapott eredményt meg kell szorozni kettővel.
| G= 2*168100/50*49= 137,22 óra Az egyes égők élettartama átlagosan 137,22 órával különböznek egymástól.

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Jelölje meg az alábbiak közül a szóródásra jellemző meghatározást!
| A leggyakrabban használt mutató
| Nem azonos a szórással
| Az átlagolandó értékek számtani átlagtól való eltérését mutatja meg.
| 2. Válassza ki a helyes állítást!
| A szórás és az átlageltérés mindig egyenlő
| A szórás mindig kisebb, mint az átlageltérés
| A szórás mindig nagyobb, mint az átlageltérés
| 3. Válassza ki a szórás definícióját!
| A szórás az ismérvértékek egymástól való eltérését mutatja meg.
| A szórás az egyes ismérvértékek számtani átlagtól való eltérésének négyzetes átlaga
| A szórás az egyes ismérvértékek számtani átlagtól való eltérésének átlaga
| 4. Jelölje meg az alábbiak közül a belső szórásra jellemző meghatározást!
| A belső szórás az egyes ismérvértékeknek a csoportjuk átlagától való átlagos eltérését mutatja meg.
| A belső szórás a részátlagok a főátlagtól való eltérését fejezi ki.
| A belső szórás az egyes ismérvértékeknek a főátlagtól való eltérését fejezi ki.
| 5. Válassza ki a helyes állítást!
| A Gini-féle mutató az átlagos eltérést fejezi ki.
| A Gini-féle mutató az átlagos különbséget fejezi ki.
| A Gini-féle mutató az adatok átlagtól való eltérését fejezi ki.
| 6. A megadott adatok alapján határozza meg a sokaság szórását, a relatív szórást és az átlageltérést! A számolás során csak a végeredményt kerekítse!
| Egy évfolyamban az átlagos testmagasságot vizsgálva 200 hallgató testmagassága az alábbi volt.
Testmagasság (cm) | Hallgatók száma (fő)
-160 | 25
161-170 | 80
171-180 | 65
181-190 | 20
191- | 10
Összesen: | 200
| A sokaság átlaga: 170,5 cm
| A sokaság szórása (2 tizedjegy pontossággal): cm. A relatív szórás (2 tizedjegy pontossággal): %. Az átlageltérés (3 tizedjegy pontossággal): cm.
| 7. Számítsa ki az átlagos különbség mutatószámát!
| A hallgatók átlagos vizsgaeredménye az alábbi volt:
Eredmény | A hallgatók száma (fő)
1 | 4
2 | 12
3 | 45
4 | 16
5 | 8
Összesen | 85
| 7/a. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket!
| Mivel a főátlóra szimmetrikus mátrixot kapunk, ezért csak a táblázat egyik felét kell kitöltenie!
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4
|  | 0 | 1 | 2 | 3
|  | 0 | 1 | 2
|  | 0 | 1
| - | 0
| fi*fj
| 4 | 12 | 45 | 16 | 8
4 |  |  |  |  |
12 |  |  |  |  |
45 |  |  |  |
16 |  |  |
8 | - |
| fi*fj* | x i − x j |
| 1/4 | 2/12 | 3/45 | 4/16 | 5/8 | Összesen
1/4 |  |  |  |  |  |
2/12 |  |  |  |  |  |
3/45 |  |  |  |  |
4/16 |  |  |  |
5/8 |  |  |
Összesen | - |
| 7/b. Egészítse ki a mondatot! Az eredményt 2 tizedesjegy pontossággal adja meg! Az egyes hallgatók érdemjegyei egymástól átlagosan -dal térnek el.
| 8. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket! Az eredményeket 3 tizedesjegy pontossággal számítsa ki! A sokaság átlaga: 6,716 Egy állattenyésztő juhállományának megoszlása fajta és gyapjúhozam szerint
Gyapjúhozam (kg) | Fésűs merinó | Német húsmerinó
Fajta (db)
-4,5 | 10 | 8
4,6-5,5 | 30 | 12
5,6-6,5 | 30 | 20
6,6-7,5 | 40 | 5
7,6-8,5 | 70 | 3
8,6- | 20 | 2
Összesen | 200 | 50
Átlag | 6,950 | 5,780
Szórás |  |
| 9/a. Az előző feladat adataiból számítsa ki a belső szórást, a külső szórást, és a teljes szórást, 3 tizedesjegy pontossággal. A belső szórás: A külső szórás: A teljes szórás:
| 9/b. Válassza ki a helyes megfogalmazást.
| Az egyes fajták átlagos gyapjúhozama átlagosan 0,468 kg-mal tér el a gazdaság átlagos gyapjúhozamától.
| A juhok átlagos gyapjúhozama 0,468 kg-mal tér el a gazdaság átlagos gyapjúhozamától.
| A juhok átlagos gyapjúhozama 0,468 kg-mal tér el a fésűs merinó fajta átlagos gyapjúhozamától.