KURZUS: Statisztika I.

MODUL: II. modul: Az empirikus eloszlások elemzése

4. lecke: Számított középértékek

|  | Követelmény
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| szöveges megfogalmazás alapján el tudja dönteni, hogy az milyen átlagot jelent; a felsorolásból ki tudja választani, hogy milyen átlagot lehet kiszámolni; felsorolásból ki tudja választani, hogy egy adott számításához milyen adatokra van szükség; egy sokaság adatait megismerve el tudja dönteni, hogy azokból milyen típusú átlagot lehet kiszámolni; egy eloszlás számtani átlagát meg tudja határozni; mértani-, négyzetes- és harmonikus átlagot számolni.
| A viszonyszámok mellett leggyakrabban használt elemzési eszközök az átlagok, melyeket középértéknek is szoktak nevezni. Az átlagokat azonos fajta adatok halmazának tömör, számszerű jellemzésére használjuk. Az átlagokkal szemben támasztott követelmények az alábbiak:
| a legnagyobb és a legkisebb érték közé essen, egy határozott szám legyen, az adatok többségéhez közel álljon, érzékenyen reagáljon a sokaság tagjainak változására, könnyen kiszámítható legyen.
| Természetesen egyszerre minden követelménynek nem lehet eleget tenni, de szakmai megfontolásból el kell tudni dönteni, hogy melyik követelményt tartjuk be
| Tananyag
| 4.1.Számtani átlag
| A leggyakrabban alkalmazott középérték, jele: x − . A számtani átlag az a szám, amellyel az egyes átlagolandó értékeket helyettesítve azok összege változatlan marad.
| Fajtái az átlagolandó értékek előfordulása alapján:
| Egyszerű számtani átlag: minden átlagolandó érték egyszer fordul elő az adatsorban
| x − = ∑ x i n
| pl.: Egy hallgató az egyik héten a következő sörmennyiséget (l) fogyasztotta el naponta: 0,7; 1,6; 2,5; 3,2; 1,6; 2,4; 2,8;
| x − = 0,7+1,6+2,5+3,2+1,6+2,4+2,8 7 =2,11 l volt az átlagos napi sörfogyasztása.
| Súlyozott számtani átlag: az átlagolandó értékek többször fordulnak elő az adatsorban:
| x − = ∑ f i x i ∑ f i
| Mivel g i = f i Σ f i , ezért a relatív gyakoriságokkal is kiszámolható az átlag:
| x − = ∑ g i x i
| pl. A sikeres vizsgát tett hallgatók félévi osztályzata statisztikából az alábbi volt:
Osztályzat | fi
2 | 14
3 | 38
4 | 22
5 | 9
Összesen | 83
| x − = 14*2+38*3+22*4+9*5 83 =3,31 az évfolyam átlaga
| Osztályközös gyakorisági sor esetén az osztályközépek töltik be az átlagolandó értékek szerepét. Az osztályközép számítása:
| x i = x i(a l s ó h.) + x i(f e l s ő h.) 2
| ahol: xi(alsóh.): az i-edik osztályköz alsó határa, xi(felsőh.): az i-edik osztályköz felső határa.
| A számításnál nem vesszük figyelembe az elkülönítést szolgáló utolsó számjegyet. Pl.: 21-50 esetében:
| x i = 20+50 2 =35
| Ha az osztályközök alsó vagy felső határa nincs megadva, akkor nyitott osztályközről beszélünk. Az alsó határt úgy adjuk meg, hogy az osztályköz szélessége azonos legyen az őt követő osztályköz szélességével. A felső határ megadásakor, pedig az előző osztályköz szélességét vesszük figyelembe.

|  | Bemutató feladat
| Pl.: 140 villanyégő égési idejét vizsgálva az alábbi adatokat kaptuk:
Élettartam (óra) | fi | Oszt. Közép
-800 | 12 | 750
801-900 | 28 | 850
901-1000 | 46 | 950
1001-1100 | 32 | 1050
1101- | 22 | 1150
Összesen | 140 |
| Az első osztályköz alsó határa nincs megadva, mivel a 2. osztályköz hossza 100, ezért az első osztályköz 701-800. Hasonlóan járunk el az utolsó osztályköz esetében is: 1101-1200.
| A számtani átlagot a következőképpen számoljuk ki:
| x − = 12*750+28*850+..+22*1150 140 =967,14 óra az átlagos élettartam

|  | A számtani átlag típusai összetett sokaság esetén:
| Részátlag: az egyes részsokaságok átlaga. (A részsokaságokat itt az egyes szakok hallgatói adják.). Az átlagokat szakonként kell kiszámítani: x ¯ k ö z g a z d á s z = 20*45+40*55+..+10*95 170 =65 x ¯ j o g á s z = 30*45+40*55+..+5*95 155 =62,10 x ¯ m é r n ö k = 20*45+50*55+..+10*95 220 =65,90
| Pl.: Néhány egyetemi szak hallgatóinak teljesítménye statisztika írásbeli vizsgán
Teljesítmény (pont) | Közgazdász | Jogász | Mérnök
-50 | 20 | 30 | 20
51-60 | 40 | 40 | 50
61-70 | 60 | 50 | 80
71-80 | 30 | 20 | 40
81-90 | 10 | 10 | 20
91- | 10 | 5 | 10
Összesen | 170 | 155 | 220
Részátlagok | 65,0 | 62,10 | 65,9
| Főátlag: a teljes sokaság átlaga. Kiszámítható a részátlagokból is, a részátlagok elemszámának súlyozásával. Pl. a fenti példában x − = 170*65,0+155*62,1+220*65,9 170+155+220 =64,54 pont a hallgatók átlagteljesítménye.
| 4.2 Négyzetes átlag
| Az a szám, amellyel az átlagolandó értékeket helyettesítve azok négyzetösszege nem változik. Jelentősége, hogy az egyes értékek előjelei közötti különbséget eltünteti. Főleg a szóródás számításánál használjuk. Hasonlóan a számtani átlaghoz ebben az esetben is van egyszerű- és súlyozott forma.
| x - q = ∑ x i 2 n x - q = ∑ f i x i 2 ∑ f i

|  | Bemutató feladat
| A kenyér szabvány szerinti tömege 1000g. Lemértünk 7 db kenyeret, hogy kiszámoljuk a szabványtól valóeltérés átlagát.
Sorszám | A kenyér tömege (g) | A szabványtól való eltérés (g)
1 | 988 | -12
2 | 1023 | +23
3 | 1010 | +10
4 | 972 | -28
5 | 957 | -43
6 | 1038 | +38
7 | 1012 | +12
| Az átlagos eltérés számtani átlaggal számolva:
| x − = −12+23+10−28−43+38+12 7 =0 , azaz a minta alapján a kenyér tömege szabványos.
| Az átlagos eltérés négyzetes átlaggal számolva:
| x - q = ∑ x i 2 n = (-12) 2 + (23) 2 + (10) 2 + (-28) 2 + (-43) 2 + (38) 2 + (12) 2 7 =26,71
| A kenyerek átlagosan 26,71 g-mal térnek el a szabványtól.

|  | 4.3. Mértani átlag
| Az a szám, amelyet az átlagolandó adatok helyébe behelyettesítve, azok szorzata nem változik. Általában egy folyamat relatív változásának vizsgálatakor használjuk, átlagos fejlődési ütemet mutat.
| x g − = ∏ x i n x g - = ∏ x i f i ∑ f i
| A " Π": több tényező folyamatos összeszorzásának matematikai jele.
| Pl. egy vállalkozó 1000 eurót helyez el a bankba kamatos kamatra. Az első 2 évben 4%, majd 3 évig 5,5%, az utolsó 6. évben pedig 6% a kamat. Mennyi az átlagos kamatnövekedés?
| k á = 1,04*1,04*1,055*1,055*1,055*1,06 6 −1=0,0508
| Azaz a hat év alatt átlagosan 5,08% kamatra számíthat
| 4.4. Harmonikus átlag
| Az a szám, amellyel az egyes átlagolandó értékeket helyettesítve azok reciprokának összege nem változik. Általában akkor használjuk, ha a viszonyszámok fordított arányt tükröznek.
| x − h = n ∑ 1 x i x − h = ∑ f i ∑ f i x i
| Pl. egy személygépkocsi a teljes útszakasz 1/6-át 100 km/h, 1/3-át 80 km/h és a felét 50 km/h sebességgel teszi meg. Mekkora átlagsebességgel kellene mennie, hogy ezt az utat ugyanannyi idő alatt tegye meg?
| t 1 = s 1 v 1 t=t1+t2+t3
| v á = s t = 1 1 6 v 1 + 1 3 v 2 + 1 2 v 3 = 1 1 6∗100 + 1 3∗80 + 1 2∗50 = 1 2 1200 + 5 1200 + 12 1200 1200 19 =63,158 k m/h
| 4.5. Összefüggés a különböző átlagok között
| Ha ugyanazon adatsorból mindegyik átlagot kiszámítjuk, akkor az alábbi összefüggést figyelhetjük meg:
| x − h ≤ x − g ≤ x − ≤ x q −

|  | Önellenőrző kérdések
| Figyelem! Az itt kiszámított értékek a következő modulokban szükségesek. Javasoljuk Önnek, hogy jegyezze fel azokat egy papírra!
| 1. Jelölje meg, hogy az alábbi átlag milyen típusú! Statisztika vizsgán a dolgozatok átlagpontszáma az összes szakra vonatkozóan:
| Számtani átlag
| Mértani átlag
| Főátlag
| Részátlag
| 2. Egy vállalkozásnál a dolgozók átlagkeresete 121.000,-Ft/hó. Az alábbi felsorolt adatok közül melyiket kell felhasználni az előző érték kiszámításakor?
| A dolgozók létszáma bérkategóriák szerint,
| Csak a dolgozók összlétszáma
| A bérkategóriák osztályközbe sorolva
| A dolgozóknak kifizetett összes bér egy összegben.
| 3. Egy vállalkozásnál a fizikai foglalkozásúak átlagbére 120.000,-Ft/hó, a szellemi foglalkozásúak átlagkeresete pedig 130.000,- Ft/hó. Állapítsa meg az átlagok típusát!
| Főátlag
| Részátlag
| Egyszerű számtani átlag
| Súlyozott számtani átlag
| 4. Döntse el, hogy az alábbi adatok ismeretében milyen átlagot kell számolni! A Magyarországra érkező külföldiek számára vonatkozó viszonyszámok 1990-től 2006-ig.
| számtani átlag
| mértani átlag
| négyzetes átlag
| harmonikus átlag
Forrás: Magyar statisztikai zsebkönyv, 2006. | 5/a. Töltse ki a táblázatot! Egy településes a családok megoszlása a családban élő gyermekek száma szerint
Gyermekek száma (fő) | Családok száma (db)
0 | 992
1 | 954
2 | 761
3 | 148
4 | 40
5 | 15
6 | 5
Összesen |
| 5/b. Egészítse ki a mondatokat a megfelelő eredménnyel! A számításokat 2 tizedesjegy pontossággal végezze az átlagnál! A településen elő gyermekek száma fő. Egy családban a gyermekek száma átlagosan fő.
Forrás: Magyar statisztikai zsebkönyv, 2006. | 6/a. Töltse ki a táblázat celláit! A nyugdíjban részesülők megoszlása 2007. januárban
A teljes ellátás havi összege (Ft) | Öregségi nyugdíjasok megoszlása (%( fi | Osztályközép xi
-20000 | 0,4 |
20001-30000 | 0,7 |
30001-40000 | 2,9 |
40001-50000 | 8,7 |
50001-60000 | 13,9 |
60001-70000 | 17,3 |
70001-80000 | 17,9 |
80001-90000 | 10,9 |
90001-100000 | 8,1 |
100001-110000 | 5,7 |
110001-120000 | 4,3 |
120001-150000 | 6,8 |
150001- | 2,4 |
Összesen | 100,0 |
| 6/b. Egészítse ki a mondatot a megfelelő eredménnyel! 2007. januárjában a nyugdíjak átlagos összege Ft volt.
| 7/a. Töltse ki a táblázat celláit, és jelölje be a helyes választ! Egy évfolyamban az átlagos testmagasságot vizsgálva 200 hallgató testmagassága az alábbi volt.
Testmagasság (cm) | Hallgatók száma (fő) | Osztályközép
-160 | 25 |
161-170 | 80 |
171-180 | 65 |
181-190 | 20 |
191- | 10 |
Összesen | 200 |
| 7/b. Válassza ki a jó megfogalmazást!
| A hallgatók átlagos testmagassága 170 cm
| A hallgatók átlagos testmagassága 170,5 cm
| A hallgatók átlagos testmagassága 171 cm
| A hallgatók átlagos testmagassága 170,4 cm
| 8. Számítsa ki a megfelelő átlagot, és ez alapján oldja meg a feladatokat! A számítást 3 tizedesjegy pontossággal végezze!
| A reáljövedelmek alakulása az előző év százalékában
Év | Egy főre jutó reáljövedelem az előző év százalékában (%)
1996 | 99,4
1997 | 100,9
1998 | 103,6
1999 | 100,8
2000 | 104,3
2001 | 104,8
2002 | 106,3
2003 | 104,9
2004 | 104,2
2005 | 103,7
| 8/a Egészítse ki a mondatot! A reáljövedelmek a vizsgált időszakban átlagosan %-kal emelkedtek.
| 8/b Jelölje meg a kiszámított átlag típusát!
| Számtani átlag
| Mértani átlag
| Harmonikus átlag
| Négyzetes átlag
| 9. Egy személygépkocsi egy útvonal négy azonos hosszúságú szakaszát a következő átlagsebességekkel teszi meg: 40 km/h¸50 km/h; 80 km/h és 100 km/h. Mekkora átlagsebesség kellene az egész út megtételéhez ugyanekkora menetidő esetén. Az átlagsebesség (1 tizedesjegy pontossággal): km/h.