KURZUS: Statisztika I.

MODUL: IV. modul: Ismérvek közötti kapcsolatok

8. lecke: Asszociáció

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| felismeri a sztochasztikus kapcsolatokat leíró helyes definíciót; a fogalmakhoz párosítani tudja azok jelentését (asszociáció, vegyes kapcsolat, korreláció); felsorolásból ki tudja választani, mikor használható a Yule-féle együttható; felsorolásból ki tudja választani, mikor használható a Csuprov-féle együttható (ez a modulzáróban jön elő); felsorolásból ki tudja választani, mikor használható és milyen formában fejezhető ki a H-mutató (ez a modulzáróban jön elő); felsorolásból ki tudja választani az asszociáció jelentését; önállóan meg tudja határozni a Yule-féle együttható értékét; a kiszámított adat alapján felsorolásból ki tudja választani két ismérv közötti kapcsolat szorosságát; megadott adatok alapján ki tudja tölteni a kontingenciatáblázatot.
| Tananyag
| Ha egy sokaságot statisztikai módszerekkel vizsgálunk, akkor többféle szempont (ismérv) alapján is csoportosíthatjuk (pl. a hallgatókat: nem, magasság, tanulmányi átlag stb.). A különféle csoportosításokkal kapcsolatban feltehető a kérdés, hogy mutatnak-e ezek hasonlóságot, azonosságot, vagy teljesen más jellegűek. Ha a vizsgált sokaság különböző ismérvek alapján feltáruló szerkezete hasonlóságot, azonosságot mutat, akkor ismérvek közötti kapcsolatról beszélünk. Ez a kapcsolat lehet:
| sztochasztikus jellegű: statisztikai valószínűségen alapuló, teljes meghatározottságú: pl. a születési év és az életkor között.
| Sztochasztikus (valószínűségi) kapcsolatnak nevezzük az olyan összefüggést, amikor az egyik jelenség egy másik jelenségre hatással van, de nem határozza meg egyértelműen annak alakulását, mert arra más tényezők is hatnak.
| Két minőségi ismérv (pl. iskolai végzettség és beosztás), vagy két területi ismérv (születési hely és lakhely), vagy egy minőségi és egy területi ismérv (választott szak és a gyakorlati hely) közötti kapcsolat elemzésére szolgál. Az említett esetekben nem számadatokkal megfogalmazható ismérvek alapján történt a csoportosítás.
| Az asszociáció (ismérvek közötti kapcsolat) kimutatása érdekében a sokaság elemeit úgynevezett kontingenciatáblába rendezzük. Két ismérv esetén a tábla a következő:
Ismérvek | 1 | 2 | Σ
1 | f11 | f12 | f1.
2 | f21 | f22 | f2.
Σ | f.1 | f.2 | n

|  | Bemutató példa
| Egy vállaltnál 50 diplomás dolgozik, és közülük 15 a nő. A középfokú végzettségűek létszáma 150, és ebből 60 a nő. Rendezzük az adatokat táblázatba:
Ismérvek | Diplomás | Középfokú végzettségű | Összesen
Férfi | 35 | 90 | 125
Nő | 15 | 60 | 75
Összesen | 50 | 150 | 200
| Kettőnél több ismérvváltozat esetén értelemszerűen több sor vagy oszlop lesz a kontingencia táblázatban.

|  | Az asszociációs mutatók a következők lehetnek:
| Yule-féle Csuprov-féle Cramer-féle.
| 8.1.Yule-féle asszociációs együttható
| Csak alternatív (azaz két ismérv) ismérvek esetén használható. Alapgondolata a függetlenséghez kapcsolódik. Két egymástól független esemény együttes bekövetkezésének valószínűsége egyenlő a két esemény bekövetkezési valószínűségének szorzatával:
| f •1 n ∗ f 1• n = f 11 n
| Mivel alternatívak az ismérvek, ezért a függetlenség az alábbi:
| f 11 f 21 = f 12 f 22
| ha f11*f22-f21*f12=0, akkor nincs kapcsolat.
| Minden nullától való eltérés esetén kiszámítható a kapcsolat szorossága.
| a= f 11 ∗ f 22 − f 21 ∗ f 12 f 11 ∗ f 22 + f 21 ∗ f 12 vagy a= g 11 ∗ g 22 − g 21 ∗ g 12 g 11 ∗ g 22 + g 21 ∗ g 12
| −1≤a≤1
| A '0' a kapcsolat hiányát, azaz a függetlenséget jelenti. Az 1 pedig a teljes meghatározottságot. Ha | a |>0,7 , akkor a kapcsolat szorossága már erősnek mondható.

|  | Bemutató feladat
| A hallgatókat a szakterület és a karriercéllal való rendelkezés alapján csoportosítottuk:
Szak | Karrier cél
Van | nincs | Összesen
mérnök | 32 | 68 | 100
közgazdász | 22 | 78 | 100
Összesen | 54 | 146 | 200
1. | Vizsgálja meg, hogy van e kapcsolat a hallgató szakterülete és a karrier céllal való rendelkezés között?
2. | Mit jelent a kiszámított mutató?
| a= 32∗78−22∗68 32∗78+22∗68 =0,25
| A vizsgált hallgatói körben a szakterület és a karrier céllal rendelkezés között gyenge kapcsolat van.

|  | 8.2. Csuprov-féle asszociációs együttható
| Ha az ismérvváltozatok száma kettőnél több, akkor használjuk. Ez is a függetlenségvizsgálathoz kapcsolódik.
| T= χ 2 n∗ (s−1)∗(t−1)
| T: Csuprov-féle együttható, s: az egyik ismérv változatainak száma t: a másik ismérv változatainak száma n: a sokaság elemszáma
| χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j − f i j * ) 2 f i j * f i j * = f i. ∗ f .j n
| fij: tapasztalati gyakoriság fij*: elméleti gyakoriság
| ha s<t 0≤T≤ s−1 t−1 4
| Ha s=t, akkor T=1, azaz az ismérvek között összefüggés nagyon intenzív. Általában úgy válasszuk meg az ismérvek jelölését, hogy s<t legyen.

|  | Bemutató feladat
| A hallgatókat a szakterület és az oktatással való elégedettség rendelkezés alapján csoportosítottuk:
Elégedettség | Szak
Mérnök | Közgazdász főisk. | Közgazdász egyetem | jogász | Összesen
Nem tudja | 69 | 83 | 99 | 53 | 304
Nem elégedett | 12 | 56 | 26 | 5 | 99
elégedett | 19 | 91 | 35 | 42 | 187
Összesen | 100 | 230 | 160 | 100 | 590
| Elméleti előfordulások számítása: f i j * = f i. ∗ f .j n
| f 11 * = 100*304 590 =51,5 f 12 * = 230*304 590 =118,5 f 31 * = 100*187 590 =31,7 stb.
Elégedettség | Szak
Mérnök | Közgazdász főisk. | Közgazdász egyetem | jogász | Összesen
Nem tudja | 51,5 | 118,5 | 82,5 | 51,5 | 304
Nem elégedett | 16,8 | 38,6 | 26,8 | 16,8 | 99
elégedett | 31,7 | 72,9 | 50,7 | 31,7 | 187
Összesen | 100 | 230 | 160 | 100 | 590
| χ 2 = ∑ i=1 s ∑ j=1 t ( f i j − f i j * ) 2 f i j * = (69−51,5) 2 51,5 =5,95
| A χ 2 - összetevői:
Elégedettség | Szak
Mérnök | Közgazdász főisk. | Közgazdász egyetem | jogász | Összesen
Nem tudja | 5,95 | 10,64 | 3,30 | 0,04 | 19,93
Nem elégedett | 1,37 | 7,840 | 0,02 | 8,29 | 17,52
elégedett | 5,09 | 4,49 | 4,86 | 3,35 | 17,79
Összesen | 12,41 | 22,97 | 8,18 | 11,68 | 55,24
| T= χ 2 n∗ (s−1)∗(t−1) = 55,24 590* (3−1)*(4−1) =0,1955
| Ki kell számolni a T-intervallumát:
| T= 3−1 4−1 4 =0,9036
| azaz, 0≤T≤0,9036
| A szakterület és az oktatással való elégedettség között gyenge a kapcsolat (T=0,1955).

|  | 8.3. Cramer-féle asszociációs együttható
| Az asszociációs összefüggések térbeli vagy időbeli összehasonlításakor gondot okozhat, hogy ugyanazon ismérv változatainak száma nem azonos a két helyen vagy a két időpontban (az előző bemutató példában, ha a jogászok nem minden kérdésre válaszolnak). Ilyen esetben a Csuprov-féle asszociációs együttható nem használható az elemzés során, helyette a Cramer-féle asszociációs együtthatót használjuk.
| C= χ 2 n*(s−1)
| 0≤C≤1

|  | Önellenőrző feladatok
| 1. Válassza ki a 3 helyes választ úgy, hogy egy igaz állítást kapjunk! Sztochasztikus kapcsolatnak nevezzük az olyan összefüggés, amikor
| két jelenség egymásra hatással van,
| egyik jelenség egy másik jelenségre hatással van,
| de az egyik jelenség nem határozza meg egyértelműen a másik jelenség alakulását,
| és az egyik jelenség egyértelműen meghatározza a másik jelenség alakulását,
| mert a másik jelenségre egyéb tényezők nem hatnak.
| mert a másik jelenségre egyéb tényezők is hatással vannak.
| 2. Jelölje meg a helyes választ!
| A Yule-féle assziciációs együttható több ismérv esetén is használható.
| A Yule-féle assziciációs együttható alternatív ismérvek esetén használható.
| Fejezze be a mondatot!
| 3. Az asszociáció...
| mennyiségi ismérvek közötti kapcsolatot jelent.
| minőségi ismérvek közötti kapcsolatot jelent.
| mennyiségi és minőségi ismérvek közötti kapcsolatot jelent.
| Egy városban terjesztett időszaki lapok megoszlása 2005-ben
Terjesztés módja | Napilapok | Hetilapok | Összesen
Árusítás | 98 | 75 | 173
Előfizetés | 86 | 27 | 113
Összesen | 184 | 102 | 286
| 4/a. Állapítsa meg a Yule-féle asszociációs együttható értékét! A számítást 3 tizedesjegy pontossággal végezze! Yule-féle asszociációs együttható:
| 4/b. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| A két ismérv között szoros a kapcsolat.
| A két ismérv között közepes erősségű a kapcsolat.
| A két ismérv között gyenge a kapcsolat erőssége.
| 5. Egy vállalkozás 4 különböző (A, B, C, D) telephelyének azonos termékeiből 300 darabot vizsgáltak meg és ezeket osztályokba sorolták. A vizsgálat eredménye a következő:
Minőség | telephelyek | összesen
A | B | C | D
I. osztályú | 125 | 44 | 32 | 24 | 225
II. osztályú | 7 | 5 | 19 | 44 | 75
Összesen | 132 | 49 | 51 | 68 | 300
| Döntse el, hogy melyik mutatót lehet kiszámítani, és állapítsa meg, van-e kapcsolat a termék gyártási helye és minősége között!
| A feladat megoldása érdekében először az alábbi tábla alapján írja be a megfelelő adatot a megadott mezőbe!
| Számított adatok (függetlenség feltételezése melletti elméleti adatok)
Minőség | telephelyek | összesen
A | B | C | D
I. osztályú | a |
II. osztályú |
Összesen |
| 5/a. Milyen szám kerül a táblázatban az "a"-val jelölt cellába?
| 7
| 25
| 99
| 104
| A kapcsolatot jellemző mutatóhoz szükséges adatok:
Minőség | Telephelyek | összesen
A | B | C | D
I. osztályú | a |  |  |  |
II. osztályú |  |  |  |  |
Összesen |  |  |  |  | 94,3
| 5/b. Milyen adat kerül a táblában az "a"-val jelölt cellába?
| 0,23
| 6,8
| 6,7
| 7,3
| 5/c. Számítsa ki a kapcsolatot jellemző Csuprov-féle asszociációs együttható értékét!
| 0,12
| 0,22
| 0,43
| 0,45
| 5/d. Válassza ki a helyes megfogalmazást!
| Az ismérvek között szoros a kapcsolat.
| Az ismérvek között közepes erősségű a kapcsolat.
| Az ismérvek között gyenge a kapcsolat erőssége.