KURZUS: Statisztika I.

MODUL: III. modul: Mennyiségi sorok további elemzési eszközei

7. lecke: Aszimmetria, koncentráció

|  | Követelmények
| Ön akkor sajátította el megfelelően a tananyagot, ha
| el tudja dönteni, hogy aszimmetria esetén milyen összefüggés van a módusz és a medián között; felsorolásból ki tudja választani ferdeségi mutató értékére vonatkozó igaz állítást; ki tudja számolni az aszimmetria mutatószámait; felsorolásból ki tudja választani a kiszámolt mutatószámokat helyes értelmezését; felsorolásból ki tudja választani a Lorenz-görbe ábrázolásához szükséges adatokat; az eredmények alapján ki tudja választani az aszimmetria mérőszámainak jelentését; ki tudja számolni egy adott gyakorisági eloszlás koncentrációját.
| Tananyag
| 7.1. Aszimmetria
| A statisztikai sorokat ábrázolva nagyon változatos görbéket kapunk, de nagy többségük szabályszerűséget mutat. Az eloszlások típusától függ a görbe lefutása. Az eloszlások az alábbiak lehetnek:
| egy móduszú, Szimmetrikus: az adatok átlaga, módusza és mediánja azonos. Aszimmetrikus: az adatok átlaga, módusza és mediánja nem azonos. több móduszú.
| Az eloszlások ábrázolásánál a vízszintes tengelyen az ismérvváltozatok értékeit tüntetjük fel, a függőleges tengelyen az ismérvváltozatokhoz tartozó megfigyelt adatokat.
| Az egy móduszú gyakorisági soroknak egy helyi maximuma van. 3 típusát különböztetjük meg.
| Egy móduszú eloszlásoknál az aszimmetria (vagy ferdeség) fokának jellemzésére több mutatószám is használható. A mutatószámokkal szemben támasztott főbb követelmények:
| A mérőszám dimenzió nélküli legyen, Szimmetrikus eloszlás esetén a nulla értéket vegye fel.
| 7.1.1. Pearson-féle mutatószám
| Az aszimmetria egyik általános úgynevezett "A mérőszámának" kidolgozása K. Person nevéhez fűződik. A mérőszám képzése abból indul ki, hogy szimmetrikus eloszlásnál a számtani átlag és a módusz megegyezik, míg aszimmetrikus eloszlásnál eltérnek egymástól.
| A= x − − M 0 σ
| Ha 0,5≤| A| , akkor már erős aszimmetriáról beszélünk. Szélsőséges esetben 1-nél nagyobb érték is előfordulhat. Ha A>0, akkor bal oldali, ha A<0, akkor jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Mivel a módusz osztályközös gyakorisági sorból lett meghatározva, nem eléggé megbízható, ezért a mediánból is kiszámolható az aszimmetria egy másik Pearson-féle mutatószámmal.

|  | Bemutató feladat
| Egy kiskereskedőnél az egyik hétvégén megvizsgálták az egyes vásárlások összegét.
Vásárláskor fizetett összeg (Ft) | Vásárlók száma (fő) | Osztályközép | Kumulált gyakoriság
1-250 | 29 | 125 | 29
251-500 | 34 | 375 | 63
501-750 | 54 | 625 | 117
751-1000 | 39 | 875 | 156
1001-1250 | 20 | 1125 | 176
1251-1500 | 18 | 1375 | 194
1501-1750 | 12 | 1625 | 206
Összesen | 206 |  |
| M o=500+ 54−34 (54−34)+(54−39) *250≈643
| x ¯ =733 σ=421 A= 733−643 421 =0,214
| Az adatsorra gyenge bal oldali aszimmetria jellemező.

|  | 7.1.2. Pearson-féle mutatószám2
| Ez azon gyakorlati megfigyelésen alapul, hogy a mérsékelten aszimmetrikus eloszlások esetében a medián az átlagtól az átlag és a módusz közötti teljes távolság mintegy egyharmadával balra vagy jobbra esik
| P= 3( x − − M e ) σ
| A mutató értéke -3 és +3 közé esik. A 0-hoz közeli érték gyenge aszimmetriát jelent. Normális eloszlás esetén P=0. Ha P>0, akkor bal oldali, ha P<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk. Ha P<-0,5, illetve P>0,5 esetében erős ferdeség jellemzi az eloszlást.

|  | Bemutató feladat
| Az előző feladatból: M e=685 P= 3(733−685) 421 =0,342
| Hasonló eredményt kaptunk, azaz gyenge bal oldali aszimmetria.

|  | 7.1.3 Ferdeségi mutató
| A ferdeségi mutató az alsó és a felső kvartilis mediántól való eltérésének egymáshoz viszonyított nagyságán alapul.
| F= ( Q 3 −M e)−(M e− Q 1 ) ( Q 3 −M e)+(M e− Q 1 )
| A mutató megoszlási viszonyszám jellegű, tehát értéke -1 és +1 között mozog. Ha F=0, akkor normális az eloszlás. Ha F>0, akkor bal oldali, ha F<0, akkor pedig jobb oldali aszimmetriáról beszélünk.
| Bal oldali aszimmetria esetén a medián az alsó kvartilishez (Q1), jobb oldali aszimmetria esetén pedig a felső (Q3) kvartilishez esik közelebb. A 0-hoz közeli érték az aszimmetria hiányát mutatja, de 0,2-nél nagyobb érték esetén már nagyfokú aszimmetriáról beszélünk.

|  | Bemutató feladat
| Az előző feladatból: Q 1 =415 Q 3 =990 F= (990−685)−(685−415) (990−685)+(685−415) =0,061

|  | 7.2. Koncentráció
| Koncentrációnak nevezzük azt a jelenséget, hogy a sokasághoz tartozó teljes értékösszeg (az ismérv előfordulási értékeinek összege) jelentős része a sokaság kevés egységére összpontosul. Az értékösszeg jele: Si
| Ha a sokaság elemszáma (n) kicsi, akkor már önmagában is koncentrációt jelent, hiszen a teljes értékösszeg kevés egységre összpontosít. A koncentráció kiszámításához:
| a relatív gyakoriság, és g i = f i n a relatív értékösszeg meghatározása szükséges: z i = s i Σ s i
| A koncentráció vizsgálatának egyik legfontosabb és legelterjedtebb eszköze a Lorenz-görbe. Ez egy egységnyi oldalú négyzetben elhelyezett vonaldiagram, amely a kumulált relatív gyakoriság (gi') függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszegeket (zi').
| Ha az ábrázolt görbe az átlón fut, akkor a sokaságban nem figyelhető meg koncentráció, ha átlóhoz közel, akkor pedig gyenge koncentráció jellemzi a sokaságot. Minél nagyobb az átló és a görbe közötti terület, annál nagyobb a koncentráció mértéke.
| A koncentrációs együttható egy megoszlási viszonyszám is egyben. A területekhez integrálszámításra van szükség, de a mutató a Gini-féle mutató segítségével is kiszámítható.
| Koncentrációs együttható: K= T k T b = G 2 x −
| ahol Tk: a koncentrációs terület nagysága ( a két görbe által bezárt terület). Tb: az átló alatti terület
| A K=0, a koncentráció teljes hiányát mutatja. A K=1 pedig a teljes koncentráltságot. Minél kisebb a koncentráltság, annál kevésbé szóródnak az adatok.

|  | Bemutató feladat
| A Gini-féle mutatónál található feladat folytatása.
| Pl. 50 izzó élettartamát vizsgálva.
Élettartam (óra) | fi | Oszt. Közép
601-700 | 5 | 650
701-800 | 11 | 750
801-900 | 16 | 850
901-1000 | 10 | 950
1001-1100 | 8 | 1050
Összesen | 50 |
| Átlag= 860 óra G= 2*160900/(50*49)= 137,22 óra
| K= G 2 x − = 137,22 2*860 =0,080 , azaz gyenge koncentráció jellemzi az adatsort.

|  | Önellenőrző feladatok
| Válassza ki a helyes meghatározást!
| 1. Bal oldali aszimmetria esetén...
| a módusz nagyobb, mint a medián.
| a módusz kisebb, mint a medián.
| a módusz egyenlő a mediánnal.
| 2. A ferdeségi mutató értéke:
| egynél nagyobb,
| csak egynél kisebb.
| Mindig -1 és +1 közé esik.
| 3. Az alábbi adatok egy évfolyam testmagasságának vizsgálatából származnak. Az évfolyam átlagos testmagassága 170,5 cm, 9,99 cm szórással. A medián értéke 170,4 cm. A leggyakoribb érték pedig 169,6 cm.
| Határozza meg az aszimmetria fokát az "A"-mutató alapján, és értelmezze azt! Az eredményt 2 tizedesjegy pontossággal adja meg!
| 3/a Az aszimmetria mérőszáma 'A'=
| 3/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
| aszimmetria mérőszáma jobb oldali aszimmetriát jelez.
| aszimmetria mérőszáma bal oldali aszimmetriát jelez.
| aszimmetria mérőszáma szimmetriát jelez.
| 4. Az alábbi adatok egy évfolyam vizsgaeredményeinek teljesítményét bemutató statisztikai sorból származnak. Az évfolyam átlagos teljesítménye 65 pont. A medián értéke 63,5 pont.. Az alsó kvartilis értéke 56,625 pont, a felső kvartilisé pedig 73,5 pont.
| Határozza meg a ferdeségi mutató értékét, és értelmezze azt! Az eredményt 3 tizedesjegy pontossággal adja meg!
| 4/a A ferdeségi mutató:
| 4/b. Válassza ki a helyes megállapítást!
| A ferdeségi mutató mérőszáma jobb oldali aszimmetriát jelez.
| A ferdeségi mutató mérőszáma bal oldali aszimmetriát jelez.
| A ferdeségi mutató mérőszáma szimmetriát jelez.
| 5. Írja be a táblázatba a hiányzó értékeket! Az értékösszeg esetén egész számokkal dolgozzon, a gyakoriság, a kumulált gyakoriság, az értékösszeg-gyakoriság és a kumulált értékösszeg gyakoriság esetében 4 tizedesjegy pontossággal! Közgazdász hallgató statisztika eredménye
Teljesítmény (pont) | Közgazdász | gi | gi' | si | zi | zi'
-50 | 20 |  |  |  |  |
51-60 | 40 |  |  |  |  |
61-70 | 60 |  |  |  |  |
71-80 | 30 |  |  |  |  |
81-90 | 10 |  |  |  |  |
91- | 10 |  |  |  |  |
Összesen | 170 | 1,0000 | - | 11050 | 1,0000 | -
| 5/a. Az előzőekben kiszámolt adatok közül melyek szükségesek a Lorenz-görbe ábrázolásához?
| A hallgatók száma
| A relatív gyakoriság
| A kumulált relatív gyakoriság
| Az értékösszeg